看官,不要生气,我没有骂你也没有鄙视你的意思,今天就是想单纯的给大伙分享一下树的相关知识,但是我还是想说作为一名程序员,自己心里有没有点树?你会没点数吗?言归正传,树是我们常用的数据结构之一,树的种类很多有二叉树、二叉查找树、平衡二叉树、红黑树、B树、B+树等等,我们今天就来聊聊二叉树相关的树。

什么是树?


首先我们要知道什么是树?我们平常中的树是往上长有分支的而却不会形成闭环,数据结构中的树跟我们我们平时看到的树类似,确切的说是跟树根长得类似,我画了一幅图,让大家更好的理解树。



图1、图2都是树,图3不是树。每个红色的圆圈我们称之为元素也叫节点,用线将两个节点连接起来,这两个节点就形成了父子关系,同一个父节点的子节点成为兄弟节点,这跟我们家族关系一样,同一个父亲的叫做兄弟姐妹,在家族里面最大的称为老子,树里面也是一样的,只是不叫老子,叫做跟节点,没有子节点的叫做叶子节点。我们拿图1来做示例,A为根节点,B、C为兄弟节点,E、F为叶子节点。

一颗树还会涉及到三个概念高度、深度、层,我们先来看看这三个名词的定义:

高度:节点到叶子节点的最长路径,从0开始计数

深度:跟节点到这个节点所经历的边数,从0开始计数

层:节点距离根节点的距离,从1开始计数

知道了三个名词的概念之后,我们用一张图来更加形象的表示这三个概念。



以上就是树的基本概念,树的种类很多,我们主要来学学二叉树。

二叉树


二叉树就像它的名字一样,每个元素最多有两个节点,分别称为左节点和右节点。当然并不是每个元素都需要有两个节点,有的可能只有左节点,有的可能只有右节点。就像国家开放二胎一样,也不是每个人都需要生两个孩子。下面我们来看看一颗典型的二叉树。



基于树的存储模式的不同,为了更好的利用存储空间,二叉树又分为完全二叉树和非完全二叉树,我们先来看看什么是完全二叉树、非完全二叉树?

完全二叉树的定义:叶子节点都在最底下两层,最后一层的叶子节点都靠左排列,并且除了最后一层,其他层的节点个数都要达到最大

也许单看定义会看不明白,我们来看几张图,你就能够明白什么是完全二叉树、非完全二叉树。

1、完全二叉树



2、非完全二叉树



上面我们说了基于树的存储模式不同,而分为完全二叉树和非完全二叉树,那我们接下来来看看树的存储模式。

二叉树的存储模式

二叉树的存储模式有两种,一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法,一种是基于数组的顺序存储法

二叉链式存储法


链式存储法相对比较简单,理解起来也非常容易,每一个节点都有三个字段,一个字段存储着该节点的值,另外两个字段存储着左右节点的引用。我们顺着跟字节就可以很轻松的把整棵树串起来,链式存储法的结构大概长成这样。



顺序存储法

顺序存储法是基于数组实现的,数组是一段有序的内存空间,如果我们把跟节点的坐标定位i=1,左节点就是 2 * i = 2,右节点 2 * i+ 1 =
3,以此类推,每个节点都这么算,然后就将树转化成数组了,反过来,按照这种规则我们也能将数组转化成一棵树。看到这里我想你一定看出了一些弊端,
如果这是一颗不平衡的二叉树是不是会造成大量的空间浪费呢?没错,这就是为什么需要分完全二叉树和非完全二叉树。分别来看看这两种树基于数组的存储模式。
完全二叉树顺序存储法

非完全二叉树顺序存储法


从图中将树转化成数组之后可以看出,完全二叉树用数组来存储只浪费了一个下标为0的存储空间,二非完全二叉树则浪费了大量的空间。
如果树为完全二叉树,用数组存储比链式存储节约空间,因为数组存储不需要存储左右节点的信息

上面我们了解了二叉树的定义、类型、存储方式,接下来我们一起了解一下二叉树的遍历,二叉树的遍历也是面试中经常遇到的问题。

二叉树遍历


要了解二叉树的遍历,我们首先需要实例化出一颗二叉树,我们采用链式存储的方式来定义树,实例化树需要树的节点信息,用来存放该节点的信息,因为我们才用的是链式存储,所以我们的节点信息如下。
/** * 定义一棵树 */ public class TreeNode { // 存储值 public int data; // 存储左节点 public
TreeNode left; // 存储右节点 public TreeNode right; public TreeNode(int data) {
this.data = data; } }
定义完节点信息之后,我们就可以初始化一颗树啦,下面是初始化树的过程:
public static TreeNode buildTree() { // 创建测试用的二叉树 TreeNode t1 = new
TreeNode(1); TreeNode t2 = new TreeNode(2); TreeNode t3 = new TreeNode(3);
TreeNode t4 = new TreeNode(4); TreeNode t5 = new TreeNode(5); TreeNode t6 = new
TreeNode(6); TreeNode t7 = new TreeNode(7); TreeNode t8 = new TreeNode(8);
t1.left = t2; t1.right = t3; t2.left = t4; t4.right = t7; t3.left = t5;
t3.right = t6; t6.left = t8; return t1; }
经过上面步骤之后,我们的树就长成下图所示的样子,数字代表该节点的值。



有了树之后,我们就可以对树进行遍历啦,二叉树的遍历有三种方式,前序遍历、中序遍历、后续遍历三种遍历方式,三种遍历方式与节点输出的顺序有关系。下面我们分别来看看这三种遍历方式。

前序遍历

前序遍历:对于树中的任意节点来说,先打印这个节点,然后再打印它的左子树,最后打印它的右子树。

为了方便大家的理解,我基于上面我们定义的二叉树,对三种遍历方式的执行流程都制作了动态图,希望对你的阅读有所帮助,我们先来看看前序遍历的执行流程动态图。


理解了前序遍历的概念和看完前序遍历执行流程动态图之后,你心里一定很想知道,在代码中如何怎么实现树的前序遍历?二叉树的遍历非常简单,一般都是采用递归的方式进行遍历,我们来看看前序遍历的代码:
// 先序遍历,递归实现 先打印本身,再打印左节点,在打印右节点 public static void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) { return; } // 输出本身 System.out.print(root.data + " "); //
遍历左节点 preOrder(root.left); // 遍历右节点 preOrder(root.right); }
中序遍历

中序遍历:对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它本身,最后打印它的右子树。

跟前序遍历一样,我们来看看中序遍历的执行流程动态图。

中序遍历的代码:
// 中序遍历 先打印左节点,再输出本身,最后输出右节点 public static void inOrder(TreeNode root) { if
(root == null) { return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.data + "
"); inOrder(root.right); }
后序遍历

后序遍历:对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它的右子树,最后打印这个节点本身。

跟前两种遍历一样,理解概念之后,我们还是先来看张图。

后序遍历的实现代码:
// 后序遍历 先打印左节点,再输出右节点,最后才输出本身 public static void postOrder(TreeNode root) { if
(root == null) { return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right);
System.out.print(root.data + " "); }

二叉树的遍历还是非常简单的,虽然有三种遍历方式,但都是一样的,只是输出的顺序不一样而已,经过了上面这么多的学习,我相信你一定对二叉树有不少的认识,接下来我们来了解一种常用而且比较特殊的二叉树:
二叉查找树

二叉查找树


二叉查找树又叫二叉搜索树,从名字中我们就能够知道,这种树在查找方面一定有过人的优势,事实确实如此,二叉查找树确实是为查找而生的树,但是它不仅仅支持快速查找数据,还支持快速插入、删除一个数据。那它是怎么做到这些的呢?我们先从二叉查找树的概念开始了解。

二叉查找树:在树中的任意一个节点,其左子树中的每个节点的值,都要小于这个节点的值,而右子树节点的值都大于这个节点的值。

难以理解?记不住?没关系的,下面我定义了一颗二叉查找树,我们对着树,来慢慢理解。


根据二叉查找树的定义,每棵树的左节点的值要小于这父节点,右节点的值要大于父节点。62节点的 所有左节点的值都要小于 62 ,所有右节点 的值都要大于 62
。对于这颗树上的每一个节点都要满足这个条件,我们拿我们树上的另一个节点 35 来说,它的右子树上的节点值最大不能超过 47 ,因为 35 是 47
的左子树,根据二叉搜索树的规则,左子树的值要小于节点值。

二叉查找树既然名字中带有查找两字,那我们就从二叉查找树的查找开始学习二叉查找树吧。

二叉查找树的查找操作


由于二叉查找树的特性,我们需要查找一个数据,先跟跟节点比较,如果值等于跟节点,则返回根节点,如果小于根节点,则必然在左子树这边,只要递归查找左子树就行,如果大于,这在右子树这边,递归右子树即可。这样就能够实现快速查找,因为每次查找都减少了一半的数据,跟二分查找有点相似,快速插入、删除都是居于这个特性实现的。

下面我们用一幅动态图来加强对二叉查找树查找流程的理解,我们需要在上面的这颗二叉查找树中找出值等于 37 的节点,我们一起来看看流程图是怎么实现的。


* 1、先用 37 跟 62 比较,37 < 62 ,在左子树中继续查找
* 2、左子树的节点值为 58,37 < 58 ,继续在左子树中查找
* 3、左子树的节点值为 47,37 < 47,继续在左子树中查找
* 4、左子树的节点值为 35,37 > 35,在右子树中查找
* 5、右子树中的节点值为 37,37 = 37 ,返回该节点
讲完了查找的概念之后,我们一起来看看二叉查找树的查找操作的代码实现
/** * 根据值查找树 * @param data 值 * @return */ public TreeNode find(int data) {
TreeNode p = tree; while (p != null) { if (data < p.data) p = p.left; else if
(data > p.data) p = p.right; else return p; } return null; }
二叉查找树的插入操作


插入跟查找差不多,也是从根节点开始找,如果要插入的数据比节点的数据大,并且节点的右子树为空,就将新数据直接插到右子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历右子树,查找插入位置。同理,如果要插入的数据比节点数值小,并且节点的左子树为空,就将新数据插入到左子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历左子树,查找插入位置。

假设我们要插入 63 ,我们用一张动态图来看看插入的流程。


* 1、63 > 62 ,在树的右子树继续查找.
* 2、63 < 88 ,在树的左子树继续查找
* 3、63 < 73 ,因为 73 是叶子节点,所以 63 就成为了 73 的左子树。
我们来看看二叉查找树的插入操作实现代码
/** * 插入树 * @param data */ public void insert(int data) { if (tree == null) {
tree = new TreeNode(data); return; } TreeNode p = tree; while (p != null) { //
如果值大于节点的值,则新树为节点的右子树 if (data > p.data) { if (p.right == null) { p.right = new
TreeNode(data); return; } p = p.right; } else { // data < p.data if (p.left ==
null) { p.left = new TreeNode(data); return; } p = p.left; } } }
二叉查找树的删除操作

删除的逻辑要比查找和插入复杂一些,删除分一下三种情况:

第一种情况:如果要删除的节点没有子节点,我们只需要直接将父节点中,指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 51。

第二种情况
:如果要删除的节点只有一个子节点(只有左子节点或者右子节点),我们只需要更新父节点中,指向要删除节点的指针,让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点
35。

第三种情况
:如果要删除的节点有两个子节点,这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点,把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点,因为最小节点肯定没有左子节点(如果有左子结点,那就不是最小节点了),所以,我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点
88

前面两种情况稍微简单一些,第三种情况,我制作了一张动态图,希望能对你有所帮助。


我们来看看二叉查找树的删除操作实现代码
public void delete(int data) { TreeNode p = tree; // p指向要删除的节点,初始化指向根节点
TreeNode pp = null; // pp记录的是p的父节点 while (p != null && p.data != data) { pp =
p; if (data > p.data) p = p.right; else p = p.left; } if (p == null) return; //
没有找到 // 要删除的节点有两个子节点 if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
TreeNode minP = p.right; TreeNode minPP = p; // minPP表示minP的父节点 while
(minP.left != null) { minPP = minP; minP = minP.left; } p.data = minP.data; //
将minP的数据替换到p中 p = minP; // 下面就变成了删除minP了 pp = minPP; } // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
TreeNode child; // p的子节点 if (p.left != null) child = p.left; else if (p.right
!= null) child = p.right; else child = null; if (pp == null) tree = child; //
删除的是根节点 else if (pp.left == p) pp.left = child; else pp.right = child; }

我们上面了解了一些二叉查找树的相关知识,由于二叉查找树在极端情况下会退化成链表,例如每个节点都只有一个左节点,这是时间复杂度就变成了O(n),为了避免这种情况,又出现了一种新的树叫
平衡二叉查找树,由于本文篇幅有点长了,相信看到这里的各位小伙伴已经有点疲惫了,关于平衡二叉查找树的相关知识我就不在这里介绍了。

最后

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