分部积分法是微积分中重要的计算积分的方法。它的主要原理是把一个积分转变成另一个较为容易的积分。

不定积分的分部积分法推导

设函数和具有连续导数,它们乘积的导数公式为:

移项可得:

对上式两边求不定积分:

这就是不定积分的分部积分公式,当求有困难的时候,而求比较容易,就可以利用公式(1)。

公式(1)也可以写成:

定积分的分部积分法推导

由公式(1)和 Newton-Leibniz 公式:

简写为:

或:

这就是定积分的分部积分公式。

例子

例1

C是常数

例2

再次利用分部积分法:

合并式(2)和(3):

心得

* 分部积分法只是把一个积分转变成另一个较为容易的积分,但是不一定能立即算出结果,因此在计算过程中,只要思路正确,具体计算时有决心和耐心,坚持下去就能成功!

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