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在《大家的人工智能——线性回归》中，我们介绍了如何找到一条直线来拟合训练数据，下面把之前的一元线性回归扩展到多元线性回归：
y=θ0+θ1x1+θ2x2+⋅⋅⋅+θnxn y = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + ··· +
\theta_nx_ny=θ0+θ1x1+θ2x2+⋅⋅⋅+θnxn
其中θ0对应的是一元线性回归中的那个b，我们再把上面的方程改写一下：
y=θ0x0+θ1x1+θ2x2+⋅⋅⋅+θnxn y = \theta_0x_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + ··· +
\theta_nx_ny=θ0x0+θ1x1+θ2x2+⋅⋅⋅+θnxn
其中x0=1。因此可以把上面的再改写成矩阵形式：
Y=θTX Y = \theta^TX Y=θTX
在之前的线性回归中我们说到通过梯度下降的方式，最小化代价函数而找到最优的一组参数最终得到一条直线。聪明的小伙伴很可能会想到，既然是最小化代价函数的值，为什么不用求导的方式得到最佳的θ值呢？
完全是可以的，现在我们看看上面我们改写的那个矩阵形式的公式，我们现在已经知道y和X的值了，做一下简单的求导就能求出θ：
θ=(XTX)−1XTY \theta = (X^TX)^{-1}X^TY θ=(XTX)−1XTY
这样把训练数据代入就能求出θ从而得到拟合数据的一个模型。那么它和梯度下降有什么不同呢，为什么几乎所有地方都在用梯度下降，而正规方程比较少见呢。我们来看看它们两者之间的特点就明白了：
梯度下降：
* 需要选取学习率α
* 需要很多次迭代来得到最优的θ
* 即使训练数据庞大也有良好的性能
正规方程：
* 不需要选取学习率α
* 不需要迭代
* 需要计算(XTX)−1(X^TX)^{-1}(XTX)−1，时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)
* 如果训练数据规模庞大，速度会很慢
很明显，正规方程在数据量大的时候性能不够好，而在机器学习、深度学习的任务中，数据有时候会非常庞大，因此将梯度下降作为优化方式。
题外话
现在我们来看看那个正规方程是如何导出来的，首先：
θ=[θ0,θ1,⋅⋅⋅,θn]T \theta = [\theta_0, \theta_1,···,\theta_n]^T θ=[θ0,θ1,⋅⋅⋅,θ
n]T
Y=[y(1),y(2),⋅⋅⋅,ym]T Y = [y^{(1)},y^{(2)},···,y^{m}]^T Y=[y(1),y(2),⋅⋅⋅,ym]T
代价函数：
J(θ0,θ1,⋅⋅⋅,θn)=12m(Xθ−Y)T(Xθ−Y)=12m(XTθTXθ−XTθTY−YTXθ+YTY) J(\theta_0,
\theta_1,···,\theta_n) = \frac{1}{2m}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)
=\frac{1}{2m}(X^T\theta^TX\theta-X^T\theta^TY-Y^TX\theta+Y^TY)J(θ0,θ1,⋅⋅⋅,θn)
=2m1(Xθ−Y)T(Xθ−Y)=2m1(XTθTXθ−XTθTY−YTXθ+YTY)
因此要最小化上面代价函数，这里给出两个矩阵的求导公式：
∂AB∂B=AT \frac{\partial{AB}}{\partial{B}} = A^T ∂B∂AB=AT
∂XTAX∂X=2AX \frac{\partial{X^TAX}}{\partial{X}} = 2AX ∂X∂XTAX=2AX
因此：
∂J(θ)∂θ=12m(2XTXθ−2XTY) \frac{\partial{J(\theta)}}{\partial{\theta}} =
\frac{1}{2m}(2X^TX\theta - 2X^TY)∂θ∂J(θ)=2m1(2XTXθ−2XTY)
令其等于零：
12m(2XTXθ−2XTY)=0 \frac{1}{2m}(2X^TX\theta - 2X^TY) = 0 2m1(2XTXθ−2XTY)=0
得到：
θ=(XTX)−1XTY \theta = (X^TX)^{-1}X^TY θ=(XTX)−1XTY
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