前言

本次分析基于 CPython 解释器,python3.x版本

在python2时代,整型有 int 类型和 long
 长整型,长整型不存在溢出问题,即可以存放任意大小的整数。在python3后,统一使用了长整型。这也是吸引科研人员的一部分了,适合大数据运算,不会溢出,也不会有其他语言那样还分短整型,整型,长整型...因此python就降低其他行业的学习门槛了。

那么,不溢出的整型实现上是否可行呢?

不溢出的整型的可行性

尽管在 C 语言中,整型所表示的大小是有范围的,但是 python 代码是保存到文本文件中的,也就是说,python代码中并不是一下子就转化成 C
语言的整型的,我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。

怎么来存储呢,既然我们要表示任意大小,那就得用动态的可变长的结构,显然,数组的形式能够胜任:
[longintrepr.h] struct _longobject { PyObject_VAR_HEAD int *ob_digit; };
 

长整型的保存形式

长整型在python内部是用一个 int 数组( ob_digit[n] )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 
123456789 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):
ob_digit[0] = 789; ob_digit[1] = 456; ob_digit[2] = 123;
低索引保存的是地位,那么每个 int 元素保存多大的数合适?有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 -
1),这样表示大数时,数组长度更短,更省空间。但是,空间确实是更省了,但操作会代码麻烦,比方大数做乘积操作,由于元素之间存在乘法溢出问题,又得多考虑一种溢出的情况。

怎么来改进呢?在长整型的 ob_digit 中元素理论上可以保存的int类型有 32 位,但是我们只保存 15 位,这样元素之间的乘积就可以只用 int
 类型保存即可, 结果做位移操作就能得到尾部和进位 carry 了,定义位移长度为 15:
#define PyLong_SHIFT 15 #define PyLong_BASE ((digit)1 << PyLong_SHIFT) #define
PyLong_MASK ((digit)(PyLong_BASE - 1))
PyLong_MASK 也就是 0b111111111111111 ,通过与它做位运算 与 的操作就能得到低位数。

有了这种存放方式,在内存空间允许的情况下,我们就可以存放任意大小的数字了。

 

长整型的运算

加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法,例如对于加法运算:

    ob_digit[2] ob_digit[1] ob_digit[0]
加数a   23 934 543
加数b +   454 632
结果z   24 389 175
为方便理解,表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数,计算结果保存在变量z中,那么 z 的数组最多只要 size_a + 1
 的空间(两个加数中数组较大的元素个数 + 1),因此对于加法运算,可以这样来处理:
[longobject.c] static PyLongObject * x_add(PyLongObject *a, PyLongObject *b) {
int size_a = len(a), size_b = len(b); PyLongObject *z; int i; int carry = 0; //
进位 // 确保a是两个加数中较大的一个 if (size_a < size_b) { // 交换两个加数 swap(a, b); swap(&size_a,
&size_b); } z = _PyLong_New(size_a + 1); // 申请一个能容纳size_a+1个元素的长整型对象 for (i =
0; i < size_b; ++i) { carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i]; z->ob_digit[i]
= carry & PyLong_MASK; // 掩码 carry >>= PyLong_SHIFT; // 移除低15位, 得到进位 } for (; i
< size_a; ++i) { // 单独处理a中高位数字 carry += a->ob_digit[i]; z->ob_digit[i] = carry
& PyLong_MASK; carry >>= PyLong_SHIFT; } z->ob_digit[i] = carry; return
long_normalize(z); // 整理元素个数 }
这部分的过程就是,先将两个加数中长度较长的作为第一个加数,再为用于保存结果的 z 申请空间,两个加数从数组从低位向高位计算,处理结果的进位,将结果的低 15
位赋值给 z 相应的位置。最后的 long_normalize(z)是一个整理函数,因为我们 z 申请了 a_size + 1 的空间,但不意味着 z
会全部用到,因此这个函数会做一些调整,去掉多余的空间,数组长度调整至正确的数量,若不方便理解,附录将给出更利于理解的python代码。

竖式计算不是按个位十位来计算的吗,为什么这边用整个元素?

竖式计算方法适用与任何进制的数字,我们可以这样来理解,这是一个 32768 (2的15次方) 进制的,那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是
“个位”,索引 1 的元素当做是 “十位”。

乘法运算

乘法运算一样可以用竖式的计算方式,两个乘数相乘,存放结果的 z 的元素个数为 size_a + size_b 即可:

  操作     ob_digit[2] ob_digit[1] ob_digit[0]
乘数a       23 934 543
乘数b *       454 632
结果z     15 126 631 176
    10 866 282 522  
结果z   10 881 409 153 176
这里需要主意的是,当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时,结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0,这 z
上做累加操作,加法运算则可以利用前面的 x_add 函数:
// 为方便理解,会与cpython中源码部分稍有不同 static PyLongObject * x_mul(PyLongObject *a,
PyLongObject *b) { int size_a = len(a), size_b = len(b); PyLongObject *z =
_PyLong_New(size_a + size_b); memset(z->ob_digit, 0, len(z) * sizeof(int)); //
z 的数组清 0 for (i = 0; i < size_b; ++i) { int carry = 0; // 用一个int保存元素之间的乘法结果 int
f = b->ob_digit[i]; // 当前乘数b的元素 // 创建一个临时变量,保存当前元素的计算结果,用于累加 PyLongObject *temp
= _PyLong_New(size_a + size_b); memset(temp->ob_digit, 0, len(temp) *
sizeof(int)); // temp 的数组清 0 int pz = i; // 存放到临时变量的低位 for (j = 0; j < size_a;
++j) { carry = f * a[j] + carry; temp[pz] = carry & PyLong_MASK; // 取低15位 carry
= carry >> PyLong_SHIFT; // 保留进位 pz ++; } if (carry){ // 处理进位 carry +=
temp[pz]; temp[pz] = carry & PyLong_MASK; carry = carry >> PyLong_SHIFT; } if
(carry){ temp[pz] += carry & PyLong_MASK; } temp = long_normalize(temp); z =
x_add(z, temp); } return z }
这大致就是乘法的处理过程,竖式乘法的复杂度是n^2,当数字非常大的时候(数组元素个数超过 70 个)时,python会选择性能更好,更高效的 
Karatsuba multiplication 乘法运算方式,这种的算法复杂度是
3nlog3≈3n1.585,当然这种计算方法已经不是今天讨论的内容了。有兴趣的小伙伴可以去了解下。

总结

要想支持任意大小的整数运算,首先要找到适合存放整数的方式,本篇介绍了用 int
数组来存放,当然也可以用字符串来存储。找到合适的数据结构后,要重新定义整型的所有运算操作,本篇虽然只介绍了加法和乘法的处理过程,但其实还需要做很多的工作诸如减法,除法,位运算,取模,取余等。

python代码以文本形式存放,因此最后,还需要一个将字符串形式的数字转换成这种整型结构:
[longobject.c] PyObject * PyLong_FromString(const char *str, char **pend, int
base) { }
这部分不是本篇的重点,有兴趣的同学可以看看这个转换的过程。

参考

* longobject.c
<https://github.com/python/cpython/blob/master/Objects/longobject.c>
附录
# 例子中的表格中,数组元素最多存放3位整数,因此这边设置1000 # 对应的取低位与取高位也就变成对 1000 取模和取余操作 PyLong_SHIFT
= 1000 PyLong_MASK = 999 # 以15位长度的二进制 # PyLong_SHIFT = 15 # PyLong_MASK = (1 <<
15) - 1 def long_normalize(num): """ 去掉多余的空间,调整数组的到正确的长度 eg: [176, 631, 0, 0]
==> [176, 631] :param num: :return: """ end = len(num) while end >= 1: if
num[end - 1] != 0: break end -= 1 num = num[:end] return num def x_add(a, b):
size_a = len(a) size_b = len(b) carry = 0 # 确保 a 是两个加数较大的,较大指的是元素的个数 if size_a
< size_b: size_a, size_b = size_b, size_a a, b = b, a z = [0] * (size_a + 1) i
= 0 while i < size_b: carry += a[i] + b[i] z[i] = carry % PyLong_SHIFT carry
//= PyLong_SHIFT i += 1 while i < size_a: carry += a[i] z[i] = carry %
PyLong_SHIFT carry //= PyLong_SHIFT i += 1 z[i] = carry # 去掉多余的空间,数组长度调整至正确的数量
z = long_normalize(z) return z def x_mul(a, b): size_a = len(a) size_b = len(b)
z = [0] * (size_a + size_b) for i in range(size_b): carry = 0 f = b[i] #
创建一个临时变量 temp = [0] * (size_a + size_b) pz = i for j in range(size_a): carry +=
f * a[j] temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT carry //= PyLong_SHIFT pz += 1 if
carry: # 处理进位 carry += temp[pz] temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT carry //=
PyLong_SHIFT pz += 1 if carry: temp[pz] += carry % PyLong_SHIFT temp =
long_normalize(temp) z = x_add(z, temp) # 累加 return z a = [543, 934, 23] b =
[632, 454] print(x_add(a, b)) print(x_mul(a, b))
 

本文由 hongweipeng <https://www.hongweipeng.com/index.php/author/1/> 创作