奇异值分解(Singular Value Decompostion, SVD)
是在机器学习领域广泛应用的算法,不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域,是很多机器学习算法的基石。本篇文章对SVD原理做主要讲解,在学习之前,确保你已经熟悉线性代数中的基本知识,包括特征值、特征向量、相似矩阵相关知识点。如果不太熟悉的话,推荐阅读如下两篇文章,
如何理解矩阵特征值?知乎马同学的回答 <https://www.zhihu.com/question/21874816>和如何理解相似矩阵?马同学高等数学
<https://www.matongxue.com/madocs/491.html>,读完之后再看本篇文章会有很大帮助。

<>1. 回顾特征值和特征向量


我们首先回顾下特征值和特征向量的定义,如下所示。其中A是一个n×n的矩阵,x是一个n维向量,则我们说λ是矩阵A的一个特征值,x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。但是求出特征值和特征向量有什么好处呢?
Ax=λx Ax = \lambda x Ax=λx
求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn\lambda_1 \le \lambda_2 \le ...\le \lambda_nλ1​≤λ2​≤..
.≤λn​,以及这n个特征值所对应的特征向量w1,w2,...,wn{w_1,w_2,...,w_n}w1​,w2​,...,wn​
,如果这n个特征值线性无关,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示
A=WΣW−1 A = W \Sigma W^{-1} A=WΣW−1
其中Σ是以这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵,W是这n个特征向量所组成的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化,即满足∣∣wi∣∣2=1
||w_i||_2 = 1∣∣wi​∣∣2​=1,或者说wiTwi=1w_i^Tw_i = 1wiT​wi​=1,此时W的n个特征向量为标准正交基,满足WTW=
IW^TW = IWTW=I,即WT=W−1W^T = W^{-1}WT=W−1,也就是说W为酉矩阵。这样我们的特征分解便可写作
A=WΣWT A = W \Sigma W^T A=WΣWT
上面矩阵能够进行特征分解,需要满足矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以进行矩阵分解吗?

<>2. 奇异值分解(SVD)

当矩阵A不是方阵时,可以用奇异值进行分解,假设我们的的矩阵A时一个m×n的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为
A=UΣVT A = U \Sigma V^T A=UΣVT

其中U时一个m×m的矩阵,Σ是一个m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V时一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足
UTU=IVTV=I U^TU=I \\ V^TV = I UTU=IVTV=I
下图可以形象的表示出上述SVD的定义,但我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到n×n的一个方阵ATAA^TAATA。既然ATAA^TAATA
是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式
(ATA)vi=λivi (A^TA)v_i = \lambda_i v_i (ATA)vi​=λi​vi​
这样我们就可以得到矩阵ATAA^TAATA的n个特征值和对应的n个特征向量v。将ATAA^TAATA
的所有特征向量组成一个n×n的矩阵V,就是SVD公式里面的V矩阵,一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

同样,如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到m×m的一个方阵AATAA^TAAT。因为AATAA^TAAT
是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式
(AAT)ui=λiui (AA^T)u_i = \lambda_i u_i (AAT)ui​=λi​ui​
这样我们就可以得到矩阵AATAA^TAAT的m个特征值和对应的m个特征向量u。将AATAA^TAAT
的所有特征向量组成一个m×m的矩阵U,就是SVD公式里面的U矩阵,一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V都已经求出,现在只有奇异值矩阵Σ没有求出。由于Σ除了对角线上是奇异值,其他位置都是0,因此我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。我们注意到
A=UΣVTAV=UΣVTVAV=UΣAvi=uiσiσi=Aviui A = U \Sigma V^T \\ AV = U \Sigma V^T V \\
AV = U \Sigma \\ Av_i = u_i \sigma_i \\ \sigma_i = \frac{Av_i}{u_i}A=UΣVTAV=UΣVT
VAV=UΣAvi​=ui​σi​σi​=ui​Avi​​
通过上式,我们便可以求出每个奇异值,进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有细讲,就是我们说ATAA^TAATA的特征向量组成的就是SVD中的V矩阵,AATAA^TAAT
的特征向量就是SVD的U矩阵,为什么呢?下面我们做简短证明。
A=UΣVTAT=VΣTUTATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT A = U \Sigma V^T \\ A^T = V \Sigma^T U^T \\
A^TA = V\Sigma^T U^T U \Sigma V^T = V \Sigma^2V^TA=UΣVTAT=VΣTUTATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2
VT
上式证明中使用到UTU=I,ΣTΣ=Σ2U^TU = I,\Sigma^T\Sigma = \Sigma^2UTU=I,ΣTΣ=Σ2,可以看出ATAA^TA
ATA的特征向量,的确就是SVD中的V矩阵。类似的方法同样可以得到AATAA^TAAT
的特征向量,就是SVD中的U矩阵。进一步我们还可以看出特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是特征值和奇异值满足如下关系
σi=λi \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi​=λi​​
这也就是说,我们不仅可以通过用σi=Aviui\sigma_i = \frac{Av_i}{u_i}σi​=ui​Avi​​来计算奇异值,也可以通过求出AT
AA^TAATA的特征值,然后取平方根得到奇异值。

<>3. SVD示例

下面我们通过一个简单例子来说明矩阵式如何进行奇异值分解的,假设矩阵A为
A=(011110) A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
A=⎝⎛​011​110​⎠⎞​
然后求出ATAA^TAATA和AATAA^TAAT
ATA=(011110)(011110)=(2112) A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 &
1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0
\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}ATA=(0
1​11​10​)⎝⎛​011​110​⎠⎞​=(21​12​)

AAT=(011110)(011110)=(110121011) AA^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1
\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1
& 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 &
1\\ 0 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}AAT=⎝⎛​011​110​⎠⎞​(01​11​10​)=⎝⎛​110​121​01
1​⎠⎞​

进而求出ATAA^TAATA的特征值和特征向量
λ1=3;v1=(1212) \lambda_1 = 3; v_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}λ1​=3;v1​=(2​1​2​1​​)

λ2=1;v2=(−1212) \lambda_2 = 1; v_2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}λ2​=1;v2​=(−2​1​2​1​​)

求出AATAA^TAAT的特征值和特征向量
λ1=3;u1=(162616) \lambda_1 = 3; u_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix}λ1​=3;u1​=⎝⎜⎛​6​1​6​2​6
​1​​⎠⎟⎞​

λ2=1;u2=(120−12) \lambda_2 = 1; u_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0
\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}λ2​=1;u2​=⎝⎛​2​1​0−2​1​​⎠⎞​

λ3=0;u3=(13−1313) \lambda_3 = 0; u_3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\
-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{pmatrix}λ3​=0;u3​=⎝⎜⎛​3​1​−3​1
​3​1​​⎠⎟⎞​

利用Avi=σiui,i=1,2Av_i = \sigma_i u_i, i = 1,2Avi​=σi​ui​,i=1,2求解奇异值
(011110)(1212)=σ1(162616)⇒σ1=3 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 &
0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix} = \sigma_1 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \sigma_1
= \sqrt{3}⎝⎛​011​110​⎠⎞​(2​1​2​1​​)=σ1​⎝⎜⎛​6​1​6​2​6​1​​⎠⎟⎞​⇒σ1​=3​

(011110)(−1212)=σ2(120−12)⇒σ2=1 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1
& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\\ \end{pmatrix} = \sigma_2 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \sigma_2 = 1⎝⎛​011​110​⎠⎞​(−2​1
​2​1​​)=σ2​⎝⎛​2​1​0−2​1​​⎠⎞​⇒σ2​=1

当然,我们也可以利用σi=λi\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}σi​=λi​​直接求出奇异值3\sqrt{3}3​
和1。最终得到A的奇异值分解为
A=UΣVT=(161213260−1316−1213)(300100)(1212−1212) A = U \Sigma V^T =
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} &
\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}A=UΣVT=⎝⎜⎛​6​1​6​2​
6​1​​2​1​0−2​1​​3​1​−3​1​3​1​​⎠⎟⎞​⎝⎛​3​00​010​⎠⎞​(2​1​−2​1​​2​1​2​1​​)

<>4. SVD性质

对于SVD有哪些重要的性质值得我们注意呢?
对于奇异值,它跟特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们可以用最大的k个奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵,即
Am∗n=Um∗mΣm∗nVn∗nT≈Um∗kΣk∗kVk∗nT A_{m*n} = U_{m*m} \Sigma_{m*n}V^T_{n * n }
\approx U_{m*k}\Sigma_{k*k}V^T_{k*n}Am∗n​=Um∗m​Σm∗n​Vn∗nT​≈Um∗k​Σk∗k​Vk∗nT​
其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um∗k,Σk∗k,Vk∗nTU_{m*k},\Sigma_{k*k},V^T_{k*n}Um∗k
​,Σk∗k​,Vk∗nT​来表示。如下图所示,现在矩阵A只需要灰色部分的三个小矩阵就可以近似描述。


由于这个重要的性质,因此SVD可以用于PCA降维,用来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP之中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。

<>5. SVD在PCA之中的应用

在机器学习降维之主成分分析(PCA)
<https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU3MjA2NTQzMw==&mid=2247484027&idx=1&sn=245a237eed7fa6ec4d6db08168c4e889&chksm=fcd7d18dcba0589b2ab1289bd7b9cec3a2b265f1d17cb2fb1f109437a1f53285cdab75e997b4&token=980498466&lang=zh_CN#rd>
之中,我们讲到PCA降维时,需要找到样本协方差矩阵XTXX^TXXTX
最大的d个特征向量,然后用着最大的d个特征向量组成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTXX^TXXTX
,当样本数多、样本特征数也多的时候,比如10000*10000的矩阵,这个计算量是很大的。

注意到SVD也可以求出协方差矩阵XTXX^TXXTX最大的d个特征向量组成的矩阵,但是SVD有个好处,就是可以不求出协方差矩阵XTXX^TXXTX
,也能通过某些算法求出右奇异矩阵VVV,比如https://arxiv.org/abs/0909.4061
<https://arxiv.org/abs/0909.4061>。也就是说,PCA算法可以不用做特征分解,而是用SVD来进行完成。

另一方面,PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?假如我们的样本是m×n的矩阵X,如果通过SVD找到矩阵XXT
XX^TXXT最大的d个特征向量组成的m×d的矩阵U,则我们进行如下处理
Xd∗n′=Ud∗mTXm∗n X'_{d*n} = U_{d*m}^TX_{m*n} Xd∗n′​=Ud∗mT​Xm∗n​

可以得到一个d×n的矩阵X’,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比,行数从m减到了d,可见对行数进行了压缩。也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩,右奇异矩阵可以用于列数压缩,即特征降维。

<>6. SVD算法总结


SVD作为一个很基本的算法,在很多机器学习算法中都有它的身影,特别是在现在的大数据时代,由于SVD可以实现并行化,因此更是大展身手。当然,SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强,不过这不影响它的使用。

<>7. 推广

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参考

刘建平Pinard-奇异值分解(SVD)原理转载降维中的应用 <https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html>

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