【数字信号处理】两连续信号在时域的叠加、卷积、相乘、尺度变换后的信号（在频域的）最低抽样频率 - 好文

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假设：频率较高的信号所对应的频率fm1（比如3KHz），频率较低的信号所对应的频率fm2（比如2KHz），最低抽样频率fs

叠加：频率较高的信号所对应频率fm1的2倍，即fs=2fm1

卷积：频率较低的信号所对应频率fm2的2倍，即fs=2fm2

相乘：两个信号的频率之和的两倍，fs=2（fm1+fm2）

尺度变换：对于fm1所对应的信号做尺度变换，如下：

f(2t) ，相当于在时域上变化加快了，即时域压缩，所以频域扩张，fs=2×（2fm1）

  f(t/2)，相当于在时域上变化减慢了，即时域扩张，所以频域压缩，fs=（1/2）×（2fm1）

举例1：f(2t)*f(t)频域为 1/2F(w/2)F(w) ， F(w)带宽为300Hz，F(w/2)带宽为600Hz，所以
相乘后带宽变为300Hz。最小抽样频率为600Hz.

举例2
：已知x(t)是一个最高频率为3kHz的带限连续时间信号,f(t)是最高频率为2kHz的带限连续时间信号.试求对下列信号理想抽样时,允许的最低抽样频率.y(t)=x(t)+f(t)
(2)y(t)=2x(t)   答案：6K 6K
解析：这个抽样定理对抽样信号的最高频率有规定第一个他含有2K 3K成分但是3K是高所以是6K 第二个也是只是第二个幅度变了不影响频率

举例3：



时域与频域尺度变换的二个简单问题

问题一：f(t)=10KHZ 当变成f(2t）时，是在频域上压缩了还是扩张了，最后f(2t)=20KHZ 还是等于5KHZ？
问题二：如果把一个录音带，按原来1/4速度播放，假设原来是f(t),那么是写成f(4t)还是f(1/4t)?

答案：
第一个：你的表达式有问题，一边是时域F(t)，另一边却是频率。时域上的F(t)变成F(2t)时，在频域上他的频谱就会压缩。这是时频之间的相反特性。第二个：是F(0.25t)，因为慢速播放的时候，频谱压缩，听起来声音变得低沉，没有高频成分，所以在时域上，相当于展宽。

奈奎斯特定理说明

Ws≥2Wm，其中Ws=2π/Ts ，因此，Ts=2π/Ws=2π/(2Wm)=π/(Wm)

fs≥2fm，其中fs=2π/Ts，因此，Ts=2π/fs=2π/(2fm)=π/(fm)

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