PCA算法 - 好文

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。
参考：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html
<http://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html>

PCA的思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据(x(1),x(2),...,x
(m))
。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n’维，希望这m个n’维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n’维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n’维的数据尽可能表示原来的数据呢？

我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n’=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，
u1和u2，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，u1比u2好。

为什么u1比u2好呢？有两种解释：

* 样本点到这个直线的距离足够近；
* 样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。
假如我们把n’从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：

* 样本点到这个超平面的距离足够近；
* 样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。
基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

投影介绍

参考：https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262
<https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262>

如上图所示，红色点表示原样本点x(i)，在u上投影，u是蓝色直线的斜率也是直线的方向向量，而且是单位向量，直线上的蓝色点表示原样本点x(i)
在u上的投影。容易知道投影点离原点的距离是x(i)，由于这些原始样本点的每一维特征均值都为0，因此投影到u上的样本点的均值仍然是0。

* 原样本点x(i)
* 在u上投影
* 投影点离原点的距离是x(i)Tu
* 原m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))进行中心化，即∑i=1mx(i)=0
* 经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}，其中w是标准正交基，即
||w||2=1,wTiwj=0
* 投影点的投影为z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)，样本点在低维坐标系里第j维的坐标z(i)j=wTjx(i)
* 如果我们用z(i)来恢复原始数据x(i)，则得到的恢复数据x⎯⎯(i)=∑j=1n′z(i)jwj=Wz(i)，其中，W为标准正交基组成的矩阵。
PCA的推导:基于最小投影距离

我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。
我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：

∑i=1m||x⎯⎯(i)−x(i)||22将这个式子进行整理，可以得到:
∑i=1m||x⎯⎯(i)−x(i)||22=∑i=1m||Wz(i)−x(i)||22=∑i=1m(Wz(i))T(Wz(i))−2∑i=1m(Wz(i))
Tx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)TWTx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz
(i)−2∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WT（∑i=1mx(
i)x(i)T)W)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WTXXTW)+∑i=1mx(i)Tx(i)其中第（1）步用到了x⎯⎯(i)=Wz(i)，
第（2）步用到了平方和展开，
第（3）步用到了矩阵转置公式(AB)T=BTAT和WTW=I，
第（4）步用到了z(i)=WTx(i)，
第（5）步合并同类项，
第（6）步用到了z(i)=WTx(i)和矩阵的迹，
第（7）步将代数和表达为矩阵形式。

注意到，∑i=1mx(i)x(i)T是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量wj是标准正交基。而∑i=1mx(i)Tx(i)是一个常量。最小化上式等价于：
argminW−tr(WTXXTW)s.t.WTW=I这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵XXT
最大的n’个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到：J(W)=−tr(WTXXTW)+λ(WTW−I)对W求导有−XXTW+
λW=0整理下即为：XXTW=λW这样可以更清楚的看出，W为XXT的n’个特征向量组成的矩阵，而λ为XXT
的特征值。当我们将数据集从n维降到n’维时，需要找到最大的n’个特征值对应的特征向量。这n’个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用
z(i)=WTx(i)，就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n’维数据集。

PCA的推导:基于最大投影方差

现在我们再来看看第二种，基于最大投影方差的推导。
对于任意一个样本x(i)，在新的坐标系中的投影为WTx(i)，在新坐标系中的投影方差为WTx(i)x(i)TW，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化
∑i=1mWTx(i)x(i)TW，即：
argmaxWtr(WTXXTW)s.t.WTW=I观察上一节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

PCA算法流程

从上面两节我们可以看出，求样本x(i)的n’维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵XXT的前n’个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本x(i)
，做如下变换z(i)=WTx(i)，即达到降维的PCA目的。

下面我们看看具体的算法流程：

输入：n维样本集D=(x(1),x(2),...,x(m))，要降维到的维数n’.
输出：降维后的样本集D′
　　　　
1. 对所有的样本进行中心化：x(i)=x(i)−1m∑j=1mx(j)
　　　　
2. 计算样本的协方差矩阵XXT
　　　　
3. 对矩阵XXT进行特征值分解
　　　　
4. 取出最大的n’个特征值对应的特征向量(w1,w2,...,wn′),将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
　　　　
5. 对样本集中的每一个样本x(i)，转化为新的样本z(i)=WTx(i)
　　　　
6. 得到输出样本集D′=(z(1),z(2),...,z(m))

有时候，我们不指定降维后的n’的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为λ1≥λ2≥...≥λn
，则n’可以通过下式得到：
∑i=1n′λi∑i=1nλi≥t

PCA算法总结

这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental
PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

PCA算法的主要优点有：

* 仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
* 各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
* 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。
PCA算法的主要缺点有：

* 主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
* 方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。
核主成分分析KPCA介绍

在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和SVM一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n’,
这里的维度之间满足n′<n<N.

使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射ϕ产生。

则对于n维空间的特征分解：
∑i=1mx(i)x(i)TW=λW映射为：∑i=1mϕ(x(i))ϕ(x(i))TW=λW
通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射ϕ
不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

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