【ML数学知识】极大似然估计 <https://www.cnblogs.com/kk17/p/9693323.html>

它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,极大似然原理的直观想法是,一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,...
,若在一次试验中,结果A出现了,那么可以认为实验条件对A的出现有利,也即出现的概率P(A)较大。极大似然原理的直观想法我们用下面例子说明。设甲箱中有99个白球,1个黑球;乙箱中有1个白球.99个黑球。现随机取出一箱,再从抽取的一箱中随机取出一球,结果是黑球,这一黑球从乙箱抽取的概率比从甲箱抽取的概率大得多,这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的。一般说来,事件A发生的概率与某一未知参数  
有关,  
取值不同,则事件A发生的概率  
也不同,当我们在一次试验中事件A发生了,则认为此时的  
值应是t的一切可能取值中使  
达到最大的那一个,极大似然估计法就是要选取这样的t值作为参数t的估计值,使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大。 [1] 

极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。极大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
当然极大似然估计只是一种粗略的数学期望,要知道它的误差大小还要做区间估计。   -----百度百科





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1. 作用

在已知试验结果(即是样本)的情况下,用来估计满足这些样本分布的参数,把可能性最大的那个参数
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581116DdRO.gif>作为真实
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581117bC0B.gif>的参数估计。

2. 离散型

设 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811170YS7.gif>为离散型随机变量,
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581118f0rI.gif>为多维参数向量,如果随机变量
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581118bh1N.gif>相互独立且概率计算式为P{
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_129458111962ol.gif>,则可得概率函数为P{
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581119momT.gif>}=
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581120hwDl.gif>,在
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811200Xtd.gif>固定时,上式表示
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811213695.gif>的概率;当
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581125Tr8s.gif>已知的时候,它又变成
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581125Wccw.gif>的函数,可以把它记为
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581126Rz03.gif>
,称此函数为似然函数。似然函数值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小,既然已经得到了样本值
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581126td60.gif>
,那么它出现的可能性应该是较大的,即似然函数的值也应该是比较大的,因而最大似然估计就是选择使
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811273oKp.gif>达到最大值的那个
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811271KMA.gif>作为真实
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811282dK6.gif>的估计。

3. 连续型

设 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581128N9zS.gif>
为连续型随机变量,其概率密度函数为 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581129dyPv.gif>,
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811299Bd2.gif>为从该总体中抽出的样本,同样的如果
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581130W6FG.gif>
相互独立且同分布,于是样本的联合概率密度为
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581134EN8t.gif>。大致过程同离散型一样。

4. 关于概率密度(PDF)

我们来考虑个简单的情况(m=k=1),即是参数和样本都为1的情况。假设进行一个实验,实验次数定为10次,每次实验成功率为0.2,那么不成功的概率为0.8,用y
来表示成功的次数。由于前后的实验是相互独立的,所以可以计算得到成功的次数的概率密度为:

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581135FSri.gif>=
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581138t3o0.gif> 其中y
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581139UII8.gif>



由于y的取值范围已定,而且 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581139DvOZ.gif>
也为已知,所以图1显示了y取不同值时的概率分布情况,而图2显示了当
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581143EGUI.gif>时的y值概率情况。

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581144Qe2r.gif>

图1  <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811444b9b.gif>时概率分布图

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811482Gp7.gif>

图2  <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581152ZihA.gif>时概率分布图

那么 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581155HtcC.gif>
在[0,1]之间变化而形成的概率密度函数的集合就形成了一个模型。

5. 最大似然估计的求法

由上面的介绍可以知道,对于图1这种情况y
=2是最有可能发生的事件。但是在现实中我们还会面临另外一种情况:我们已经知道了一系列的观察值和一个感兴趣的模型,现在需要找出是哪个PDF(具体来说参数
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581156KUb6.gif>
为多少时)产生出来的这些观察值。要解决这个问题,就需要用到参数估计的方法,在最大似然估计法中,我们对调PDF中数据向量和参数向量的角色,于是可以得到似然函数的定义为:

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581157Qevy.gif>

该函数可以理解为,在给定了样本值的情况下,关于参数向量
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581157ZkOk.gif>
取值情况的函数。还是以上面的简单实验情况为例,若此时给定y为7,那么可以得到关于
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581158ch6S.gif>的似然函数为:

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581158884Y.gif>

继续回顾前面所讲,图1,2是在给定 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811596HJJ.gif>
的情况下,样本向量y取值概率的分布情况;而图3是图1,2横纵坐标轴相交换而成,它所描述的似然函数图则指出在给定样本向量y
的情况下,符合该取值样本分布的各种参数向量
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581159GuYO.gif>的可能性。若
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581160kMY2.gif>相比于
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581161HB7C.gif>,使得y
=7出现的可能性要高,那么理所当然的 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581161VMmx.gif>
要比 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581162joAg.gif>更加接近于真正的估计参数。所以求
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581162V8zc.gif>的极大似然估计就归结为求似然函数
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581163HD55.gif>的最大值点。那么
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581164c5YY.gif>取何值时似然函数
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581164L6lz.gif>
最大,这就需要用到高等数学中求导的概念,如果是多维参数向量那么就是求偏导。

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581165rMzg.gif>

图3  <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581165M0Oo.gif>的似然函数分布图

主要注意的是多数情况下,直接对变量进行求导反而会使得计算式子更加的复杂,此时可以借用对数函数。由于对数函数是单调增函数,所以
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581166V6K6.gif>与
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581169Ldys.gif>具有相同的最大值点,而在许多情况下,求
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811700815.gif>的最大值点比较简单。于是,我们将求
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581170TUBB.gif>的最大值点改为求
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581171dvSw.gif>的最大值点。

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581171uTr7.gif>



若该似然函数的导数存在,那么对 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581172eY6z.gif>
关于参数向量的各个参数求导数(当前情况向量维数为1),并命其等于零,得到方程组:

<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581172WEb4.gif>



可以求得 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581176Qr0R.gif>
时似然函数有极值,为了进一步判断该点位最大值而不是最小值,可以继续求二阶导来判断函数的凹凸性,如果
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581177k0fb.gif>
的二阶导为负数那么即是最大值,这里再不细说。

还要指出,若函数 <http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581177a4iD.gif>关于
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_12945811782bMB.gif>
的导数不存在,我们就无法得到似然方程组,这时就必须用其它的方法来求最大似然估计值,例如用有界函数的增减性去求
<http://hi.csdn.net/attachment/201101/9/0_1294581178X6iY.gif>的最大值点

6. 总结


最大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。

求最大似然函数估计值的一般步骤: 
(1) 写出似然函数
(2) 对似然函数取对数,并整理
(3) 求导数
(4) 解似然方程

对于最大似然估计方法的应用,需要结合特定的环境,因为它需要你提供样本的已知模型进而来估算参数,例如在模式识别中,我们可以规定目标符合高斯模型。
而且对于该算法,我理解为,“知道”和“能用”就行,没必要在程序设计时将该部分实现,因为在大多数程序中只会用到我最后推导出来的结果
。个人建议,如有问题望有经验者指出。在文献[1]中讲解了本文的相关理论内容,在文献[2]附有3个推导例子。

7. 参考文献

[1]I.J. Myung. Tutorial on maximum likelihood estimation[J]. Journal of
Mathematical Psychology, 2003, 90-100.

[2] http://edu6.teacher.com.cn/ttg006a/chap7/jiangjie/72.htm

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