线段树 - 好文

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目录

一、基本概念
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#%E4%B8%80%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%A6%82%E5%BF%B5>

二、线段树的基础操作
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#%E4%BA%8C%E3%80%81%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E6%A0%91%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E6%93%8D%E4%BD%9C>

1、建树
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#1%E3%80%81%E5%BB%BA%E6%A0%91>

2、单点查询（即查询一个点的状态，设待查询点为x）
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#2%E3%80%81%E5%8D%95%E7%82%B9%E6%9F%A5%E8%AF%A2%EF%BC%88%E5%8D%B3%E6%9F%A5%E8%AF%A2%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%8C%E8%AE%BE%E5%BE%85%E6%9F%A5%E8%AF%A2%E7%82%B9%E4%B8%BAx%EF%BC%89>

3、单点修改（即更改某一个点的状态，对第x个数加上y）
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#3%E3%80%81%E5%8D%95%E7%82%B9%E4%BF%AE%E6%94%B9%EF%BC%88%E5%8D%B3%E6%9B%B4%E6%94%B9%E6%9F%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%8C%E5%AF%B9%E7%AC%ACx%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%8A%A0%E4%B8%8Ay%EF%BC%89>

4、区间查询（即查询一段区间的状态）
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#4%E3%80%81%E5%8C%BA%E9%97%B4%E6%9F%A5%E8%AF%A2%EF%BC%88%E5%8D%B3%E6%9F%A5%E8%AF%A2%E4%B8%80%E6%AE%B5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%89>

5、区间修改（即修改一段连续区间的值，给区间[a,b]的每个数都加x）
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#5%E3%80%81%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%BF%AE%E6%94%B9%EF%BC%88%E5%8D%B3%E4%BF%AE%E6%94%B9%E4%B8%80%E6%AE%B5%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%8C%E7%BB%99%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Ba%2Cb%5D%E7%9A%84%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E6%95%B0%E9%83%BD%E5%8A%A0x%EF%BC%89>

6、总结
<https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81436440#6%E3%80%81%E6%80%BB%E7%BB%93>

一、基本概念

1、线段树是一棵二叉搜索树，它储存的是一个区间的信息。

2、每个节点以结构体的方式存储，结构体包含以下几个信息：

区间左端点、右端点；（这两者必有）

这个区间要维护的信息（事实际情况而定，数目不等）。

3、线段树的基本思想：二分。

4、线段树一般结构如图所示：

5、特殊性质：

由上图可得，

1、每个节点的左孩子区间范围为[l，mid]，右孩子为[mid+1,r]

2、对于结点k，左孩子结点为2*k，右孩子为2*k+1，这符合完全二叉树的性质

二、线段树的基础操作

注：以下基础操作均以引例中的求和为例，结构体以此为例：
struct node { int l,r,w;//l，r分别表示区间左右端点，w表示区间和 }tree[4*n+1];
树记得开4倍空间。

线段树的基础操作主要有5个：建树、单点查询、单点修改、区间查询、区间修改。

1、建树

【主体思路】

a、对于二分到的每一个结点，给它的左右端点确定范围。

b、如果是叶子节点，存储要维护的信息。

c、状态合并。

【代码】
void build(int l,int r,int k) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r)//叶子节点 {
scanf("%d",&tree[k].w); return ; } int m=(l+r)/2; build(l,m,k*2);//左孩子
build(m+1,r,k*2+1);//右孩子
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//状态合并，此结点的w=两个孩子的w之和 }

2、单点查询（即查询一个点的状态，设待查询点为x）

【主体思路】

与二分查询法基本一致，如果当前枚举的点左右端点相等，即叶子节点，就是目标节点。如果不是，因为这是二分法,所以设查询位置为x，当前结点区间范围为了l，r，中点为mid，则如果x<=mid，则递归它的左孩子，否则递归它的右孩子。

【代码】
void ask(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) //当前结点的左右端点相等，是叶子节点，是最终答案 {
ans=tree[k].w; return ; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m)
ask(k*2);//目标位置比中点靠左，就递归左孩子 else ask(k*2+1);//反之，递归右孩子 }

3、单点修改（即更改某一个点的状态，对第x个数加上y）

【主体思路】

结合单点查询的原理，找到x的位置；根据建树状态合并的原理，修改每个结点的状态。

【代码】
void add(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目标位置 { tree[k].w+=y; return; }
int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) add(k*2); else add(k*2+1);
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含结点k的结点状态更新 }

4、区间查询（即查询一段区间的状态）

【主体思路】

mid=(l+r)/2

y<=mid ,即查询区间全在，当前区间的左子区间，往左孩子走

x>mid 即查询区间全在，当前区间的右子区间，往右孩子走

否则，两个子区间都走

【代码】
void sum(int k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; }
int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); }

5、区间修改（即修改一段连续区间的值，给区间[a,b]的每个数都加x）

【主体思路】

为了实现这个，引入一个新的状态——懒标记。

    1、直观理解：“懒”标记，懒嘛！用到它才动，不用它就睡觉。

2、作用：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。就像家长扣零花钱，你用的时候才给你，不用不给你。

3、实现思路（重点）：

   a.原结构体中增加新的变量，存储这个懒标记。

   b.递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中。
注意是累积，可以这样理解：过年，很多个亲戚都给你压岁钱，但你暂时不用，所以都被你父母扣下了。

c.什么时候才用到这个懒标记？当需要递归这个节点的子节点时，标记下传给子节点。
这里不必管用哪个子节点，两个都传下去。就像你如果还有妹妹，父母给你们零花钱时总不能偏心吧

d.下传操作：

①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。

②修改子节点状态。在引例中，就是原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的懒标记。

这就有疑问了，既然父节点都把标记传下来了，为什么还要乘父节点的懒标记，乘自己的不行吗？

因为自己的标记可能是父节点多次传下来的累积，每次都乘自己的懒标记造成重复累积

③父节点懒标记清0。
这个懒标记已经传下去了，不清0后面再用这个懒标记时会重复下传。就像你父母给了你5元钱，你不能说因为前几次给了你10元钱,
所以这次给了你15元，那你不就亏大了。

懒标记下穿代码：f为懒标记，其余变量与前面含义一致。

【代码】

懒标记下传：
void down(int k) { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; }
区间修改：
void add(int k) { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//当前区间全部对要修改的区间有用 {
tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1区间点的总数 tree[k].f+=x; return; }
if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传。只有不满足上面的if条件才执行，所以一定会用到当前节点的子节点 int
m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) add(k*2); if(b>m) add(k*2+1);
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改区间状态 }

6、总结

加入懒标记后5种操作的总结。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y,ans; struct
node { int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 {
tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w);
return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr);
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//标记下传 {
tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline
void ask_point(int k)//单点查询 { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return
; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m)
ask_point(k*2); else ask_point(k*2+1); } inline void change_point(int k)//单点修改
{ if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].w+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int
m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) change_point(k*2); else
change_point(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void
ask_interval(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { ans+=tree[k].w;
return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m)
ask_interval(k*2); if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void
change_interval(int k)//区间修改 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) {
tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; tree[k].f+=y; return; } if(tree[k].f)
down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) change_interval(k*2); if(b>m)
change_interval(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() {
scanf("%d",&n);//n个节点 build(1,1,n);//建树 scanf("%d",&m);//m种操作 for(int
i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); ans=0; if(p==1) { scanf("%d",&x);
ask_point(1);//单点查询,输出第x个数 printf("%d",ans); } else if(p==2) {
scanf("%d%d",&x,&y); change_point(1);//单点修改 } else if(p==3) {
scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 ask_interval(1); printf("%d\n",ans); } else {
scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 change_interval(1); } } }

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