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从一个小例子看贝叶斯公式的应用
应用Bayesian公式考察如下的实例并回答问题。
张某为了解自己患上了X疾病的可能性，去医院作常规血液检查。其结果居然为阳性，他赶忙到网上查询。根据网上的资料，血液检查实验是有误差的，这种实验有“1%的假阳性率和1%的假阴性率”（真的患病者得到阴性结果称为假阴性，未患病的人得到阳性结果称为假阳性）。即在得病的人中做实验，有1%的概率是假阴性，99％是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的概率是假阳性，99％是真阴性。于是张某根据这种解释，估计他自己得了X疾病的概率为99%。张某的推理是，既然只有1%的假阳性率，那么，99%都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。
张某咨询了医生，医生说：“99%？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”
张某不放心，又做了一个尿液检查，进一步检查他患上了X疾病的可能性，其结果仍然为阳性，尿液检查的实验有“5%的假阳性率和5%的假阴性率”。
a）张某初始计算感染X病的概率是99%，问题出在哪？
b）张某在血液检查之后感染X病的概率是多少？
c）张某在血液和尿液检查之后得X病的概率是多少？
d）如果根据张某的家族遗传信息，他得X病的概率是百分之一，请问结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率是多少？
a） 在这个例子中，张某由于没有认识到X疾病在人群中的患病率
对于自己患病率的影响，从而得出了错误的结论。换言之，虽然，真阳性率+假阳性率=100%，反问，难道所有人都是阳性吗？张某错误的结论建立在所有人都是阳性的基础之下。
b）那么张某在血液检查之后的患病率是多少呢？画一张图来说明问题。
由此，根据贝叶斯公式，可以计算张某在血液检查后患病的概率为：
P(患/阳)=P(患)∗P(阳/患)P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)=99%∗1/100099%∗1/1000+1%∗999/1000≈9%
P(患/阳)=P(患)∗P(阳/患)P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)=99%∗1/100099%∗1/1000+1%∗999/1000≈9%
c）在血液检查之后，我们算得了张某患病的概率，相对于原来的1/10001/1000，在检验血液阳性的条件下的患病的概率增加为了9%9%
。在这样的前题之下，我们又对张某的尿液进行检查，检验为阳性。那么此时患病的概率计算方式同前，只不过是患病的概率更新为了9%9%。如图所示：
同样地，由贝叶斯公式，有：
P尿(患/阳)=P尿(患)∗P尿(阳/患)P尿(患)∗P尿(阳/患)+P尿(不患)∗P尿(阳/不患)=95%∗9%95%∗1.87%+5%∗91%≈65.31
%P尿(患/阳)=P尿(患)∗P尿(阳/患)P尿(患)∗P尿(阳/患)+P尿(不患)∗P尿(阳/不患)=95%∗9%95%∗1.87%+5%∗91%≈65.31
%
d） 根据张某的家族患病率，我们知道在没有任何先验信息的前题下张某的患病率为1%1%而不是1/10001/1000
，利用这个数值，重新进行以上的两步计算，即可知根据张某的家族遗传信息，结合血液和尿液检查结果，张某得X病的概率。计算如下：
P(患/阳)=P(患)∗P(阳/患)P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)=99%∗1/10099%∗1/100+1%∗99/100≈50%P(患
/阳)=P(患)∗P(阳/患)P(患)∗P(阳/患)+P(不患)∗P(阳/不患)=99%∗1/10099%∗1/100+1%∗99/100≈50%
P尿(患/阳)=P尿(患)∗P尿(阳/患)P尿(患)∗P尿(阳/患)+P尿(不患)∗P尿(阳/不患)=95%∗50%95%∗50%+5%∗50%≈95%P尿(
患/阳)=P尿(患)∗P尿(阳/患)P尿(患)∗P尿(阳/患)+P尿(不患)∗P尿(阳/不患)=95%∗50%95%∗50%+5%∗50%≈95%
这就是说，在家族患病率和两次检查这样的前题之下，两次利用贝叶斯公式计算知张某得病的概率高达95%。
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